Question

如图，直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点.

 （1）求与平面A₁C₁CA所成角的大小；

 （2）求二面角B―A₁D―A的大小；

 （3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）∵A₁B₁C₁－ABC为直三棱柱  ∴CC₁⊥底面ABC  ∴CC₁⊥BC

       ∵AC⊥CB   ∴BC⊥平面A₁C₁CA

       ∴为与平面A₁C₁CA所成角

∴与平面A₁C₁CA所成角为

   （2）分别延长AC，A₁D交于G. 过C作CM⊥A₁G 于M，连结BM

∵BC⊥平面ACC­₁A₁   ∴CM为BM在平面A₁C₁CA的内射影

∴BM⊥A₁G    ∴∠CMB为二面角B―A₁D―A的平面角

       平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点

       ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

         ， 

即二面角B―A₁D―A的大小为

   （3）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD

       其位置为AC中点，证明如下：

       ∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱柱，∴B₁C₁//BC

       ∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

       ∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F ，F为AC中点 ∴C₁F⊥A₁D ∴EF⊥A₁D

       同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面A₁BD

       ∵E为定点，平面A₁BD为定平面，点F唯一

       解法二：（1）同解法一

   （2）

       ∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱住   C₁C=CB=CA=2 ， AC⊥CB  D、E分别为C₁C、B₁C₁的中点， 建立如图所示的坐标系得

       C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

       C₁（0，0，2）  B₁（2，0，2）  A­₁（0，2，2）

       D（0，0，1）  E（1，0，2）

                设平面A₁BD的法向量为

             

             

       平面ACC₁A₁­的法向量为=（1，0，0）  …7分

       即二面角B―A₁D―A的大小为 

   （3）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD

欲使EF⊥平面A₁BD    由（2）知，当且仅当//

 

∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件. 即点F为AC中点。