Question

1．如图所示，已知直二面角α-AB-β，P∈α，Q∈β，PQ与平面α，β所成的角都为30°，PQ=4，PC⊥AB，C为垂足，QD⊥AB，D为垂足，求：
（1）直线PQ与CD所成角的大小
（2）四面体PCDQ的体积．

Answer 1

分析 （1）直接根据PC⊥β以及常用的结论：cosθ=cos∠PQC•cos∠DCQ即可求出结果；
（2）求出几何体的高与底面面积，即可求解几何体的体积．

解答 解：（1）直二面角α-AB-β，P∈α，Q∈β，PQ与平面α，β所成的角都为30°，PQ=4，PC⊥AB，C为垂足，QD⊥AB，D为垂足，设直线AB与CD所成的角为θ，则由PC⊥AB，cos∠DCQ=$\frac{CD}{CQ}$=$\frac{\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
可知PC⊥β知：cosθ=cos∠PQC•cos∠DCQ=cos30°•$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故θ=45°；
（2）由题意可知三棱锥的高为PC=2，底面CQD的面积为：$\frac{1}{2}$CD•DQ=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，
三棱锥的体积为：$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题主要考查空间直线所成的角以及二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．