题目内容
【题目】已知的两个顶点
的坐标分别为
,
,且
所在直线的斜率之积等于
,记顶点
的轨迹为
.
(Ⅰ)求顶点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)若直线与曲线
交于
两点,点
在曲线
上,且
为
的重心(
为坐标原点),求证:
的面积为定值,并求出该定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析,定值为
.
【解析】
(Ⅰ)设,根据题意列方程即可求解.
(Ⅱ)设,
,
,由
为
的重心,可得
,从而
,
,将直线与椭圆方程联立整理利用韦达定理求出点
坐标,代入椭圆方程可得
,再利用弦长公式以及三角形的面积公式即可求解.
(Ⅰ)设,
因为点的坐标为
,所以直线
的斜率为
同理,直线的斜率为
由题设条件可得,.
化简整理得,顶点的轨迹
的方程为:
.
(Ⅱ)设,
,
,
因为为
的重心,所以
,
所以,
,
由得
,
,
,
,
,∴
,
又点在椭圆上,所以
,
∴,
因为为
的重心,所以
是
的
倍,
,
原点到直线
的距离为
,
.
所以,
所以,的面积为定值,该定值为
.
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