题目内容
【题目】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝
.证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和．
【答案】（1）见解析（2）Sn＝(n－1)·2n＋1.
【解析】试题分析：（1）由
及条件可得
，即
，可得数列
为等差数列；
（2）由（1）得
，从而可得
，利用错位相减法求和即可。
试题解析：
(1)证明：∵ an＋1＝2an＋2n，
∴ bn＋1＝
＝
＝
＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，
又b1＝a1＝1.
∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解：由(1)知，bn＝n，
∴＝bn＝n.
∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①
∴2Sn＝1×21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②
①-②得：
－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
∴Sn＝(n－1)2n＋1.
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