Question

10．已知函数f（x）是定义域为R的非零函数，设函数F（x）=f（x）$+\frac{1}{x}$．
（1）若f（x）为奇函数，试用定义证明：F（x）为奇函数；
（2）若f（x）为偶函数，试判断F（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若f（x）为奇函数，且在区间（-∞，0）上单调递减，试判断F（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义给予证明．

Answer 1

分析 （1）若f（x）为奇函数，利用函数奇偶性的定义即可证明F（x）为奇函数；
（2）若f（x）为偶函数，利用函数奇偶性的定义即可证明判断F（x）的奇偶性；
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系，结合函数单调性的定义即可证明．

解答 解：（1）若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
则F（-x）=f（-x）+$\frac{1}{-x}$=-f（x）-$\frac{1}{x}$=-（f（x）+$\frac{1}{x}$）=-F（x），
即：F（x）为奇函数；
（2）若f（x）为偶函数，f（-x）=f（x），
则F（-x）=f（-x）+$\frac{1}{-x}$=f（x）-$\frac{1}{x}$≠-（f（x）+$\frac{1}{x}$）=-F（x），
且F（-x）≠F（x），
则F（x）为非奇非偶函数；
（3）设0＜x₁＜x₂，
若f（x）为奇函数，且在区间（-∞，0）上单调递减，
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，即f（x₁）＞f（x₂），
则F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）+$\frac{1}{{x}_{1}}$-f（x₂）-$\frac{1}{{x}_{2}}$=f（x₁）-f（x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
则F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）-f（x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
即F（x₁）＞F（x₂），故函数F（x）在区间（0，+∞）上的单调递减．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．