题目内容

【题目】当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是(
A.[﹣5,﹣3]
B.[﹣6,﹣ ]
C.[﹣6,﹣2]
D.[﹣4,﹣3]

【答案】C
【解析】解:当x=0时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立; 当0<x≤1时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥
令f(x)= ,则f′(x)= =﹣ (*),
当0<x≤1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,
f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6;
当﹣2≤x<0时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤
由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2;
综上所述,实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数a的取值范围是[﹣6,﹣2].
故选:C.
分x=0,0<x≤1,﹣2≤x<0三种情况进行讨论,分离出参数a后转化为函数求最值即可,利用导数即可求得函数最值,注意最后要对a取交集.

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