Question

【题目】在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为平行四边形，∠CAD=90°，EF∥BC，EF= BC，AC= ，AE=EC=1．
（1）求证：CE⊥AF；
（2）若二面角E﹣AC﹣F 的余弦值为 ，求点D 到平面ACF 的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵平面ACE⊥平面ABCD，且平面ACE∩平面ABCD=AC，

∵AD⊥AC，∴AD⊥平面AEC… CE平面AEC，∴AD⊥CE，

又 ，

∴AC2=AE2+CE2，

∴AE⊥EC∵EF∥BC，BC∥AD∴EF∥AD，即A、D、E、F共面

又AE∩AD=D，∴CE⊥平面ADEF

∵AF面ADEF，

∴CE⊥AF

（2）解：因为平面ACE⊥平面ABCD，∠CAD=90°，

如图以A为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz

设AD=2a，则

由AD⊥面ACE知平面ACE的一个法向量

设平面ACF的一个法向量 ，因为 ∴ ，取 ，则

则 ，

因为二面角E﹣AC﹣F的余弦值为

所以 ，即a=1

所以

设点D到平面ACF的距离为d，则

所以点D到平面ACF的距离

【解析】（Ⅰ）证明AD⊥平面AEC，推出AD⊥CE，AE⊥EC，推出CE⊥平面ADEF，然后证明CE⊥AF．（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，设AD=2a，求出平面ACE的一个法向量，平面ACF的一个法向量利用二面角E﹣AC﹣F的余弦值为 ，求出a，设点D到平面ACF的距离为d，利用公式求解即可．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的性质，需要了解垂直于同一个平面的两条直线平行才能得出正确答案．