题目内容

(2013•松江区二模)如图,已知ABC-A1B1C1是正三棱柱,它的底面边长和侧棱长都是2.
(1)求异面直线A1C与B1C1所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)求三棱锥C-ABC1的体积VC-ABC1
分析:(1)连接A1B,由三棱柱的性质得C1B1∥CB,从而得到∠A1CB(或其补角)是异面直线A1C与B1C1所成角.然后在△A1CB中计算出各边的长,再根据余弦定理算出cos∠A1CB=
2
4
,即可得到异面直线A1C与B1C1所成角的大小;
(2)由棱柱体积公式,算出正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为2
3
,而三棱锥C1-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1同底等高,得到VC1-ABC =
1
3
VABC-A1B1C1=
2
3
3
,由此不难得到三棱锥C-ABC1的体积VC-ABC1的值.
解答:解:(1)连接A1B,
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,C1B1∥CB,
∠A1CB(或其补角)是异面直线A1C与B1C1所成角.
∵四边形AA1C1C与AA1B1B都是边长为2的正方形
|A1C|=|A1B|=2
2

△A1CB中根据余弦定理,得cos∠A1CB=
8+4-8
2×2
2
×2
=
2
4

因此,∠A1CB=arccos
2
4

即异面直线A1C与B1C1所成角的大小为arccos
2
4

(2)由题意得
∵△ABC的面积S△ABC=
3
4
22=
3
,高CC1=2
∴正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V=S△ABC×CC1=2
3

而三棱锥C1-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1同底等高
∴三棱锥C1-ABC的体积为VC1-ABC =
1
3
VABC-A1B1C1=
2
3
3

VC-ABC1=VC1-ABC 
∴三棱锥C-ABC1的体积为
2
3
3
点评:本题给出所有棱长均相等的正三棱柱,求异面直线所成角并求三棱锥的体积,着重考查了异面直线所成角的求法和锥体、柱体体积公式等知识,属于中档题.
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