题目内容

(1)已知△ABC的顶点A(1,1),B(3,2),C(2,4),求△ABC的面积.
(2)若△ABC的顶点A在直线y=x上运动,顶点B(6,8),顶点C在线段y=2x (3≤x≤5)上运动,且A、C、B三点的横坐标成等差数列,问△ABC的面积是否存在最大值?若存在求出最大值,若不存在,说明理由.
分析:(1)由两点间的距离公式可得,AB=
5
,BC=
5
,AC=
10
,可求三角形的面积
(2)由题意可设A(a,a),C(b,2b)(3≤b≤5),由A、C、B三点的横坐标成等差数列可得2b=a+6及3≤b≤5可得0≤a≤4,C(
a+6
2
,a+6
),而S△ABC=S△OAB+S△OBC-S△OAC=-
1
4
(a2-2a-24)
=-
1
4
(a-1)2+
25
4
,结合二次函数的性质可求面积的最大值
解答:解:(1)由两点间的距离公式可得,AB=
5
,BC=
5
,AC=
10

∴AB2+BC2=AC2即AB⊥BC
S△ABC=
1
2
AB•BC
=
1
2
×
5
×
5
=
5
2

(2)由题意可设A(a,a),C(b,2b)(3≤b≤5)
A、C、B三点的横坐标成等差数列可得2b=a+6
∴b=
a+6
2
且由3≤b≤5可得0≤a≤4即C(
a+6
2
,a+6

设C,A到直线OB:y=
4
3
x
的距离分别为h1,h2,点C到直线y=x的距离为h3
h1=
a+6
5
h2=
a
5
h3=
a+6
2
2

S△ABC=S△OAB+S△OBC-S△OAC
=
1
2
OB•(h1+h2)
-
1
2
OA•h3
=
1
2
×10×
2a+6
5
-
1
2
×
2
a× 
a+6
2
2

=-
1
4
(a2-2a-24)
=-
1
4
(a-1)2+
25
4

当a=1时,S△ABC的面积最大值
25
4

点评:本题主要考查了三角形的面积公式的应用,等差数列的性质的应用,解题(2)的关键是要准确表示出三角形的面积,结合二次函数的性质进行求解,
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