题目内容

19．已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为p．

分析 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离．

解答 解：抛物线x2=2py的焦点F（0，$\frac{p}{2}$）准线方程y=-$\frac{p}{2}$，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴|AF|+|BF|=y1+$\frac{p}{2}$+y2+$\frac{p}{2}$=3p
解得y1+y2=2p，
∴线段AB的中点纵坐标为p
∴线段AB的中点到x轴的距离为p．
故答案为：p．

点评 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．

练习册系列答案
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（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
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（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=an•bn，当n≥2时求数列{cn}的前n项和An．
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