Question

11．已知命题甲：sina-cosa=$\sqrt{2}$，命题乙：双曲线$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}a}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}a}$=1的渐近线与圆（x-1）²+y²=$\frac{1}{2}$相切，则命题甲为命题乙的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分又不必要条件

Answer 1

分析 根据三角函数以及圆锥曲线的性质分别求出关于命题甲，命题乙的角a的取值，结合充分必要条件的定义，从而得到答案．

解答 解：命题甲：∵sina-cosa=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$•sin（a-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∴sin（a-$\frac{π}{4}$）=1，
∴a=2kπ+$\frac{3}{4}$π，k∈Z；
命题乙：∵渐近线方程y=±xtana，
∴$\frac{|tana|}{\sqrt{1{+tan}^{2}a}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tana=±1，
∴a=kπ+$\frac{π}{4}$或kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z；
故选：A．

点评 本题考查了充分必要条件，考查了三角函数以及圆锥曲线的性质，是一道中档题．