Question

【题目】已知函数f（x）=ea（x﹣1）﹣ax2 ， a为不等于零的常数．
（Ⅰ）当a＜0时，求函数f′（x）的零点个数；
（Ⅱ）若对任意x1 ， x2 ， 当x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）＞a（ ﹣2x1）（x2﹣x1）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=aea（x﹣1）﹣2ax， 令g（x）=aea（x﹣1）﹣2ax，
∴g′（x）=a2ea（x﹣1）﹣2a＞0，
∴g（x）在R上单调递增，
∵g（0）=ae﹣a＜0，g（1）=﹣a＞0，
∴g（x）在R上有且仅有一个零点，即函数f′（x）在R上有且仅有一个零点；
（Ⅱ）①当a＜0时，f（x2）﹣f（x1）＞ ﹣2ax2﹣ ﹣2ax1
= （ ﹣1）﹣a（x2+x1）（x2﹣x1）
＞ （ ﹣1）﹣2ax1（x2﹣x1），
令h（x）=eax﹣ax﹣1，x＞0，
∴h′（x）=aeax﹣a=a（eax﹣1）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，
即eax﹣1＞ax，
∴ ﹣1＞a（x2+x1），
∴f（x2）﹣f（x1）＞a（ ﹣2x1）（x2﹣x1），
②当a＞0，由（Ⅰ）可得g′（x）=a2ea（x﹣1）﹣2a，
令g′（x）=a2ea（x﹣1）﹣2a=0，解得x0= ln +1，
当x变化时，g′（x），g（x）变化情况列表如下：

x	（﹣∞，x0）	x0	（x0 ， +∞）
g′（x）	﹣	0	+
g（x）	递减	极小值	递增

∴g（x0）= ﹣2ax0=2（lna﹣a+1﹣ln2），
令m（x）=lnx﹣x+1﹣ln2，
∴m′（x）= ﹣1= ，
∴m（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当x＞0时，m（x）＜m（1）=﹣ln2＜0，即g（x0）＜0
又∵当x→+∞时，g（x）＞0，
∴在（﹣∞，x0）上g（x）存在一个零点x1 ， 即f′（x1）=0，
∴当x变化时，f′（x），f（x）在区间（﹣∞，x0）变化情况列表如下：

x	（﹣∞，x1）	x1	（x1 ， x0）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	递增	极大值	递减

∴f（x0）﹣f（x1）＜0=af′（x1）（x2﹣x1）=a（ ﹣2x1）（x2﹣x1），与结论矛盾，
综上可知，a的取值范围为（﹣∞，0）
【解析】（Ⅰ）先求导，再判断其导函数的单调性，根据函数的零点存在定理即可判断，（Ⅱ）分a＜0或a＞0两种情况讨论，对于a＜0，构造函数h（x）=eax﹣ax﹣1，x＞0，根据导数和函数的最值即可证明， 对于a＞0，根据（Ⅰ）的结论，根据导数和函数的单调性极值的关系可得g（x0）=2（lna﹣a+1﹣ln2），再构造函数m（x）=lnx﹣x+1﹣ln2，根据导数和函数最值的关系可得当x＞0时，m（x）＜m（1）=﹣ln2＜0，即g（x0）＜0，再根据f′（x），f（x）在区间（﹣∞，x0）变化情况，得到与已知相矛盾，问题得以解决