Question

（本小题满分14分）已知区域的外接圆C与x轴交于点A₁、A₂，椭圆C₁以线段A₁A₂为长轴，离心率．

⑴求圆C及椭圆C₁的方程；

⑵设圆与轴正半轴交于点D，点为坐标原点，中点为，问是否存在直线与椭圆交于两点，且？若存在，求出直线与夹角的正切值的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

，

【解析】解：⑴由题意可知，区域是以及点为顶点的三角形，

∵，∴为直角三角形．                        ……2分

∴外接圆C以原点O为圆心，线段A₁A₂为直径，故其方程为．

∵2a=4，∴a=2．

又，∴，可得．

∴所求椭圆C₁的方程是．                                               ……6分

⑵点坐标为，故点坐标为，显然可满足要求；时不满足题意．                                                               ……8分

当时，设的方程为，

由，得，

由，得；             ……10分

设，的中点为，

则．

，即，解得．

……12分

，得．

综上，直线与夹角的正切值的取值范围是．          ……14分