Question

9．设P是抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-3上横坐标非负的一个动点，过P引圆x²+y²=2的两条切线，切点分别为T₁、T₂，当|T₁T₂|最小时，直线T₁T₂的方程是x+y-1=0．

Answer 1

分析 设圆心为O（0，0），PO与T₁T₂交于E，则PO²=PT₁²+2，T₁T₂=2T₁E=$\frac{2P{T}_{1}}{PO}$=2$\sqrt{1-\frac{2}{P{O}^{2}}}$，当PO值最小时，T₁T₂取最小值，求出P的坐标，设出两切点坐标，根据圆的切线方程公式分别写出两条切线方程，然后把P点坐标代入后得到过两切点的直线方程即可．

解答 解：设圆心为O（0，0），PO与T₁T₂交于E，则PO²=PT₁²+2，T₁T₂=2T₁E=$\frac{2P{T}_{1}}{PO}$=2$\sqrt{1-\frac{2}{P{O}^{2}}}$
∴当PO值最小时，T₁T₂取最小值；
设P（x，y），则PO²=x²+y²=y²+4y+12=（y+2）²+8
当y=-2时，PO²有最小值8，P（2，2）
设切点为T₁（x₁，y₁），T₂（x₂，y₂），
则PT₁的方程为x₁x+y₁y=2，PT₂的方程为x₂x+y₂y=2，
把（2，2）分别代入求得2x₁+2y₁=2，2x₂+2y₂=2
∴直线T₁T₂的方程是2x+2y=2，化简得x+y-1=0
故答案为：x+y-1=0．

点评 此题考查学生掌握圆的切线方程公式，灵活运用点的坐标与直线方程的关系写出直线方程，是一道中档题．