题目内容
【题目】在直三棱柱
中，
且
，设其外接球的球心为O，已知三棱锥
的体积为2.则球O的表面积的最小值是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
设
，球的半径为R，因为底面均为直角三角形，故外接球的球心为两个底面三角形外接圆圆心的连线的中点，如图中O点为三棱柱外接球的球心．根据三棱锥OABC的体积为2，可得
，接着表示出R，根据基本不等式可得到球的表面积的最小值．
如图，在
中，
设，则
，取
的中点分别为
则分别为和
的外接圆的圆心，连接
，又直三棱柱
的外接球的球心为O，则O为的中点，连接OB，则OB为三核柱外接球的半径。设半径为R，因为直三棱柱，所以
，所以三棱锥
的高为2，即
，又三棱锥体积为2，所以
.在
中，
，
所以
，当且仅当
时取“=”，所以球O的表面积的最小值是
，故选B.
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