Question

命题P：函数f（x）=

x2-2ax+a

的定义域为R，命题Q：不等式

x-a

x-1

＜0的解集为空集．若命题P是真命题而命题Q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由函数f（x）=

x2-2ax+a

的定义域为R，表示x²-2ax+a≥0恒成立，根据二次函数恒成立的充要条件可得命题P是真命题时，实数a的取值范围；不等式

x-a

x-1

＜0的解集在a=1时为空集，进而我们可以求出命题Q是假命题时，实数a的取值范围；进而得到答案．

解答：解：命题P：函数f（x）=

x2-2ax+a

的定义域为R，为真命题时
x²-2ax+a≥0恒成立
即△=4a²-4a≤0
解得0≤a≤1
命题Q：不等式

x-a

x-1

＜0的解集为空集．为真命题时
a=1
又∵命题P是真命题而命题Q是假命题，

0≤a≤1 a≠1

∴实数a的取值范围0≤a＜1

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，函数的定义域及其求法，分式不等式的解法，其中求出命题P与命题Q为真命题时，实数a的取值范围是解答本题的关键．