Question

设命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定义域为R；命题q：3^x-9^x＜a对一切的实数均成立，如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：可先求得p真与q真时x的范围，再由真值表作出解答即可．

解答：解：∵命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定义域为R，
∴ax²-x+

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a＞0恒成立，
显然，a≠0，
∴

a＞0 1- a2 4 ＜0

，解得a＞2；
∵命题q：3^x-9^x＜a对一切的实数均成立，令g（x）=3^x-9^x，
则a＞g（x）_max．
∵g（x）=3^x-9^x=-(3x-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，
∴g（x）_max=

1

4

，
∴a＞

1

4

．
∵“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，
∴命题p与命题q一真一假．
若p真q假，则a∈∅；
若p假q真，即

a≤2 a＞ 1 4

，则

1

4

＜a≤2．
综上所述，

1

4

＜a≤2．
故答案为：

1

4

＜a≤2．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，求得分别求得p真与q真时x的范围是关键，突出考查函数恒成立问题，属于中档题．