Question

已知命题p：函数f（x）=lg（x²+ax-a-1）在区间[2，+∞）上单调递增，命题q：函数g（x）=x³-ax²+3ax+1在区间（-∞，+∞）内既有极大值又有极小值，求使命题p、q中有且只有一个为真命题时实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据对数函数的单调性，复合函数的单调性，对数函数的定义域，我们可以求出命题q为真命题时，参数a的取值范围，根据函数取极值的条件，可们命题q真命题时，参数a的取值范围，进而由命题p、q中有且只有一个为真命题，我们分命题p真q假和命题p假q真两种情况，分类讨论实数a的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：若命题p：函数f（x）=lg（x²+ax-a-1）在区间[2，+∞）上单调递增，为真命题
则a＞-3
若命题q：函数g（x）=x³-ax²+3ax+1在区间（-∞，+∞）内既有极大值又有极小值，为真命题
则a＜0或a＞9
又∵命题p、q中有且只有一个为真命题
当命题p真q假时，0≤a≤9
当命题p假q真时，a≤-3
故使命题p、q中有且只有一个为真命题时实数a的取值范围为（-∞，-3]∪[0，9]

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，对数函数的单调性，复合函数的单调性，对数函数的定义域，导数法在求函数的最值的应用，是函数问题与简易逻辑的综合应用，其中在确定命题p，q为真命题时，参数a的取值范围，难度比较大，也容易出错．