Question

已知命题p：函数f（x）=lg（mx²-2x+

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m）的定义域是R；命题q：方程x²+mx+9=0有两个不相等的实数解，若“p且非q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据对数函数的定义域把命题p转化为

m＞0 △=4- 4m2 9 ＜ 0

，根据一元二次方程根的情况把命题q转化为m²-36＞0，根据“p且非q”为真，判断出p真q假，从而求得实数a的取值范围．

解答：解：由题意，若p为真命题，则mx²-2x+

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m＞0对任意实数x都成立，
若m=0，显然不成立．若m≠0，则

m＞0 △=4-  4m2 9 ＜ 0

，解得m＞3；
∴命题p：m＞3；
∵关于x的方程x²+mx+9=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即：m²-36＞0，解得m＞6或m＜-6；
∵“p且非q”为真，
∴p真q假，
∴3＜m≤6，故实数m的取值范围为（3，6]．

点评：本题以复合命题的真假为载体考查二次方程实根分布问题和二次不等式很成立问题．二次方程实根分布问题和二次不等式很成立问题都要结合二次函数的图象进行处理，体现函数、方程、不等式的联系．属中档题．