Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*）且bn=2an-n2-10，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当n≥8时，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1-a_n=n+1，利用“累加求和”即可得出；
（2）利用（1）可得b_n=n-8，当n≥8时，b_n≥0．利用等差数列的前n项和公式可得S_n．当n≥8时，T_n=-（b₁+b₂+…+b₇）+（b₈+b₉+…+b_n）=-S₇+S_n-S₇=S_n-2S₇即可得出．

解答：解：（1）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，n≥2．
∴an=n+(n-1)+(n-2)+…+2+2=

n(n+1)

2

+1，
∴an=

n2+n+2

2

，   n≥2．
当n=1时，a1=2=

12+1+2

2

，满足上式，
∴an=

n2+n+2

2

，   n∈N*．
（2）∵bn=2an-n2-10=2×

n2+n+2

2

-n2-10=n-8，
∴当n≥8时，b_n≥0．
∴Sn=

n(-7+n-8)

2

=

n2-15n

2

．
∴当n≥8时，T_n=-（b₁+b₂+…+b₇）+（b₈+b₉+…+b_n）
=-S₇+S_n-S₇
=S_n-2S₇
=

n(-7+n-8)

2

-2×

7(-7+7-8)

2

=

n2-15n+112

2

．

点评：本题考查了“累加求和”、等差数列的前n项和公式、含绝对值符号的数列求和问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．