题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,其中,,,,为棱上的点,且.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设为棱上的点(不与,重合),且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
(1)建立适当的空间直角坐标系,确定各点坐标,得到,,根据线面垂直的判定定理,即可证明.
(2)由(1)可知,平面的法向量,确定平面的法向量,根据,求解即可.
(3)设,确定,,根据直线与平面所成角的正弦值为,求解,即可.
(1)因为平面,平面,平面
所以,
因为
则以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得,,,,,.
所以,,.
因为,.
所以,
又,平面,平面.
所以平面.
(2)设平面的法向量,由(1)可知,
设平面的法向量
因为,.
所以,即
不妨设,得.
所以二面角的余弦值为.
(3)设,即.
所以,即.
因为直线与平面所成角的正弦值为
所以
即解得
即.
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