Question

定义{a，b，c}为函数y=ax²+bx+c的“特征数”．如：函数y=x²-2x+3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y=2x+3的“特征数”是{0，2，3，}，函数y=-x的“特征数”是{0，-1，0}
（1）将“特征数”是{0，

3

3

，1}的函数图象向下平移2个单位，得到的新函数的解析式是

y=

3

3

x-1

； （答案写在答卷上）
（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y轴交于A、B两点，与直线x=

3

分别交于D、C两点，在平面直角坐标系中画出图形，判断以点A、B、C、D为顶点的四边形形状，并说明理由；
（3）若（2）中的四边形与“特征数”是{1，-2b，b2+

1

2

}的函数图象的有交点，求满足条件的实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得函数解析式，由平移的知识可得；
（2）由直线的方程易证四边形为平行四边形，由坐标可得AB=BC，即得菱形；
（3）分别求得函数图象过点A，D时的b值，数形结合可得范围．

解答：解：（1）由题意可得“特征数”是{0，

3

3

，1}的函数为y=

3

3

x+1，
其图象向下平移2个单位，得到的新函数的解析式是y=

3

3

x+1-2，即y=

3

3

x-1；
（2）由题意可知y=

3

3

x+1向下平移两个单位得y=

3

3

x-1

∴AD∥BC，且AB=2，由直线的方程可知AB∥CD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
同时可得C点坐标为（

3

，0），D（

3

，2）
由勾股定理可得BC=2，即AB=BC=2
∴四边形ABCD为菱形．
（3）可得二次函数为：y=x²-2bx+b²+

1

2

，化为顶点式为：y=（x-b）²+

1

2

，
∴二次函数的图象不会经过点B和点C．
设二次函数的图象与四边形有公共部分，

当二次函数的图象经过点A时，将A（0，1），代入二次函数，
解得b=-

2

2

，b=

2

2

（不合题意，舍去），
当二次函数的图象经过点D时，将D（

3

，2），代入二次函数，
解得b=

3

+

6

2

，b=

3

-

6

2

（不合题意，舍去），
所以实数b的取值范围：-

2

2

≤b≤

3

+

6

2

．

点评：本题考查新定义，涉及二次函数和直线的位置关系的判定，属基础题．