题目内容

定义{a，b，c}为函数y=ax²+bx+c的“特征数”．如：函数y=x²-2x+3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y=2x+3的“特征数”是{0，2，3，}，函数y=-x的“特征数”是{0，-1，0}
（1）将“特征数”是{ $数学公式$ }的函数图象向下平移2个单位，得到的新函数的解析式是________；（答案写在答卷上）
（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y轴交于A、B两点，与直线x= $数学公式$ 分别交于D、C两点，在平面直角坐标系中画出图形，判断以点A、B、C、D为顶点的四边形形状，并说明理由；
（3）若（2）中的四边形与“特征数”是{ $数学公式$ }的函数图象的有交点，求满足条件的实数b的取值范围．

解：（1）由题意可得“特征数”是{ $\text{[math]}$ }的函数为y= $\text{[math]}$ ，
其图象向下平移2个单位，得到的新函数的解析式是y= $\text{[math]}$ -2，即y= $\text{[math]}$ ；
（2）由题意可知y= $\text{[math]}$ 向下平移两个单位得y= $\text{[math]}$

∴AD∥BC，且AB=2，由直线的方程可知AB∥CD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
同时可得C点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），D（ $\text{[math]}$ ，2）
由勾股定理可得BC=2，即AB=BC=2
∴四边形ABCD为菱形．
（3）可得二次函数为：y=x²-2bx+b²+ $\text{[math]}$ ，化为顶点式为：y=（x-b）²+ $\text{[math]}$ ，
∴二次函数的图象不会经过点B和点C．
设二次函数的图象与四边形有公共部分，

当二次函数的图象经过点A时，将A（0，1），代入二次函数，
解得b=- $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ （不合题意，舍去），
当二次函数的图象经过点D时，将D（ $\text{[math]}$ ，2），代入二次函数，
解得b= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ （不合题意，舍去），
所以实数b的取值范围： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意可得函数解析式，由平移的知识可得；
（2）由直线的方程易证四边形为平行四边形，由坐标可得AB=BC，即得菱形；
（3）分别求得函数图象过点A，D时的b值，数形结合可得范围．
点评：本题考查新定义，涉及二次函数和直线的位置关系的判定，属基础题．