题目内容
(2012•闸北区二模)对于任意的平面向量
=(x1,y1),
=(x2,y2),定义新运算⊕:
⊕
=(x1+x2,y1y2).若
,
,
为平面向量,k∈R,则下列运算性质一定成立的所有序号是
①
⊕
=
⊕
; ②(k
)⊕
=
⊕(k
); ③k(
⊕
)=(k
)⊕(k
)
④
⊕(
⊕
)=(
⊕
)⊕
; ⑤
⊕(
+
)=
⊕
+
⊕
.
a |
b |
a |
b |
a |
b |
c |
①④
①④
.①
a |
b |
b |
a |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
④
a |
b |
c |
a |
b |
c |
a |
b |
c |
a |
b |
a |
c |
分析:根据题意,设向量
=(x1,y1),
=(x2,y2),
=(m,n),进而分析所给的命题:对于①,计算
⊕
与
⊕
,分析可得①正确,对于②,分别计算(k
)⊕
与
⊕(k
),分析即可得②错误;对于③,先计算
⊕
,由向量的坐标运算可得k(
⊕
),同理可得(k
)⊕(k
),分析可得③错误;对于④,先计算
⊕
,进而可得
⊕(
⊕
),同理计算可得(
⊕
)⊕
=(m+x1+x2,ny1y2),分析可得④正确;对于⑤,由向量的坐标运算可得
+
,进而可得
⊕(
+
),结合题意,计算可得
⊕
、
⊕
,由向量的坐标运算可得
⊕
+
⊕
,分析可得⑤正确;综合可得答案.
a |
b |
c |
a |
b |
b |
a |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
b |
c |
a |
b |
c |
a |
b |
c |
b |
c |
a |
b |
c |
a |
b |
b |
c |
a |
b |
b |
c |
解答:解:根据题意,设向量
=(x1,y1),
=(x2,y2),
=(m,n),
分析命题:
对于①,
⊕
=(x1+x2,y1y2),
⊕
=(x2+x1,y2y1),则
⊕
=
⊕
,则①正确;
对于②,(k
)⊕
=(kx1+x2,ky1y2),而
⊕(k
)=(x1+kx2,ky1y2),有(k
)⊕
≠
⊕(k
),则②错误;
对于③,
⊕
=(x1+x2,y1y2),k(
⊕
)=k(x1+x2,y1y2)=(kx1+kx2,ky1y2),而(k
)⊕(k
)=(kx1+kx2,k2y1y2),有k(
⊕
)≠(k
)⊕(k
),③错误;
对于④,
⊕
=(m+x2,ny2),
⊕(
⊕
)=(m+x1+x2,ny1y2),而
⊕
=(x1+x2,y1y2),(
⊕
)⊕
=(m+x1+x2,ny1y2),有
⊕(
⊕
)=(
⊕
)⊕
,④正确;
对于⑤,
+
=(m+x2,n+y2),
⊕(
+
)=(m+x1+x2,y1n+y1y2),而
⊕
=(x1+x2,y1y2),
⊕
=(m+x2,ny2),
⊕
+
⊕
=(2m+x1+x2,y1y2+ny2),⑤正确;
即①④正确;
故答案为①④.
a |
b |
c |
分析命题:
对于①,
a |
b |
b |
a |
a |
b |
b |
a |
对于②,(k
a |
b |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
对于③,
a |
b |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
对于④,
b |
c |
a |
b |
c |
a |
b |
a |
b |
c |
a |
b |
c |
a |
b |
c |
对于⑤,
b |
c |
a |
b |
c |
a |
b |
b |
c |
a |
b |
b |
c |
即①④正确;
故答案为①④.
点评:本题是新定义的题型,考查向量数量积的坐标运算,关键是根据题意,套用题干中的新运算“⊕”.
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