题目内容

(2012•闸北区二模)对于任意的平面向量
a
=(x1y1),
b
=(x2y2)
,定义新运算⊕:
a
b
=(x1+x2y1y2)
.若
a
b
c
为平面向量,k∈R,则下列运算性质一定成立的所有序号是
①④
①④

a
b
=
b
a
;    ②(k
a
)⊕
b
=
a
⊕(k
b
)
;    ③k(
a
b
)=(k
a
)⊕(k
b
)

a
⊕(
b
c
)=(
a
b
)⊕
c
;     ⑤
a
⊕(
b
+
c
)=
a
b
+
a
c
分析:根据题意,设向量
a
=(x1y1),
b
=(x2y2)
c
=(m,n),进而分析所给的命题:对于①,计算
a
b
b
a
,分析可得①正确,对于②,分别计算(k
a
)⊕
b
a
⊕(k
b
),分析即可得②错误;对于③,先计算
a
b
,由向量的坐标运算可得k(
a
b
),同理可得(k
a
)⊕(k
b
),分析可得③错误;对于④,先计算
b
c
,进而可得
a
⊕(
b
c
),同理计算可得(
a
b
)⊕
c
=(m+x1+x2,ny1y2),分析可得④正确;对于⑤,由向量的坐标运算可得
b
+
c
,进而可得
a
⊕(
b
+
c
),结合题意,计算可得
a
b
b
c
,由向量的坐标运算可得
a
b
+
b
c
,分析可得⑤正确;综合可得答案.
解答:解:根据题意,设向量
a
=(x1y1),
b
=(x2y2)
c
=(m,n),
分析命题:
对于①,
a
b
=(x1+x2,y1y2),
b
a
=(x2+x1,y2y1),则
a
b
=
b
a
,则①正确;
对于②,(k
a
)⊕
b
=(kx1+x2,ky1y2),而
a
⊕(k
b
)=(x1+kx2,ky1y2),有(k
a
)⊕
b
a
⊕(k
b
),则②错误;
对于③,
a
b
=(x1+x2,y1y2),k(
a
b
)=k(x1+x2,y1y2)=(kx1+kx2,ky1y2),而(k
a
)⊕(k
b
)=(kx1+kx2,k2y1y2),有k(
a
b
)≠(k
a
)⊕(k
b
),③错误;
对于④,
b
c
=(m+x2,ny2),
a
⊕(
b
c
)=(m+x1+x2,ny1y2),而
a
b
=(x1+x2,y1y2),(
a
b
)⊕
c
=(m+x1+x2,ny1y2),有
a
⊕(
b
c
)=(
a
b
)⊕
c
,④正确;
对于⑤,
b
+
c
=(m+x2,n+y2),
a
⊕(
b
+
c
)=(m+x1+x2,y1n+y1y2),而
a
b
=(x1+x2,y1y2),
b
c
=(m+x2,ny2),
a
b
+
b
c
=(2m+x1+x2,y1y2+ny2),⑤正确;
即①④正确;
故答案为①④.
点评:本题是新定义的题型,考查向量数量积的坐标运算,关键是根据题意,套用题干中的新运算“⊕”.
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