Question

在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F₁，F₂分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点．已知△F₁PF₂为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF₂上的点，满足

AM

•

BM

=-2，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用△F₁PF₂为等腰三角形得|PF₂|=|F₁F₂|，解其对应的方程即可求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求得A，B两点的坐标，代入

AM

•

BM

=-2，即可求点M的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．
由题得|PF₂|=|F₁F₂|，即

(a-c)2+b2

=2c，整理得2(

c

a

)2+

c

a

-1=0，得

c

a

=-1（舍），或

c

a

=

1

2

，
所以e=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=

3

c，可得椭圆方程为3x²+4y²=12c²，直线方程为y=

3

（x-c）．
A，B的坐标满足方程组

3x2+4y2=12c2 y= 3 (x-c)

，
消y并整理得5x²-8xc=0，
解得x=0，x=

8

5

c，得方程组的解为

x=0 y=- 3

c，

x= 8 5 c y= 3 3 5 c

，
不妨设A（

8

5

c，

3 3

5

c），B（0，-

3

c）．
设点M的坐标为（x，y），则

AM

=（x-

8

5

c，y-

3 3

5

c），

BM

=（x，y+

3

c）
由y=

3

（x-c）得c=x-

3

3

y  ①，
由

AM

•

BM

=-2即（x-

8

5

c）x+（y-

3 3

5

c）（y+

3

c）=-2．
将①代入化简得18x²-16

3

xy-15=0，?y=

18x2-15

16 3 x

代入①化简得c=

10x2+5

16x

＞0．所以x＞0，
因此点M的轨迹方程为18x²-16

3

xy-15=0  （x＞0）．

点评：本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．