Question

（08年天津南开区质检一理）（14分）

如图，是抛物线上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|。

（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程。

Answer 1

解析：本小题主要考查抛物线的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力。

（1）解：设，直线ME的斜率为，则直线MF的斜率为，直线ME的方程为)

由得

解得

所以    ∴

同理可得     ∴

∴ （定值）（8分）

（2）解：当∠EMF=90°，∠MAB=45°，所以k=1

由（1）得

设重心则有

消去参数得（14分）