Question

8．（1）已知函数f（x）=x²，g（x）为一次函数，且一次项系数大于0，若f（g（x））=4x²-20x+25，求g（x）；
（2）已知f（x）为二次函数，且满足f（0）=1，f（x-1）-f（x）=4x，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）设g（x）=kx+b，由题意得f（g（x））=（kx+b）²得f（g（x））=k²x²+2kxb+b²从而得出恒等式：k²x²+2kxb+b²=4x²-20x+25，根据对应项相等，结合一次项系数大于零，解得b和k，最后写出g（x）的表达式；
（2）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果．

解答 解：（1）设g（x）=kx+b，
由题意，所以f（g（x））=（kx+b）²
得f（g（x））=k²x²+2kxb+b²
因为f（g（x））=4x²-20x+25
所以有k²x²+2kxb+b²=4x²-20x+25
对应项系数相等，所以k²x²=4x²，解得k=±2
所以2kxb=-20x，因为一次项系数大于零，所以k取2
解得b=-5，
所以g（x）的表达式为g（x）=2x-5；
（2）设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
因为f（x-1）-f（x）=4x，
所以a（x-1）²+b（x-1）+1-（ax²+bx+1）=4x．
即-2ax+a-b=4x，
根据系数对应相等$\left\{\begin{array}{l}{-2a=4}\\{a-b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以f（x）=-2x²-2x+1．

点评 本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、恒等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，待定系数法、化归与转化思想．