Question

（1）已知M={x|3x+1≤(

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)x-2，x∈R}，当x∈M时，求函数y=2^x的值域．
（2）若函数f（x）=log_ax（a＞1）在[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据指数的运算性质，将不等式3x+1≤(

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)x-2两边化为同底得3^x+1≤（3^-2）^（x-2），即3^x+1≤3^-2x+4，结合指数函数的单调性，可求出集合M，进而再由指数函数的值域和单调性，求出函数y=2^x的值域．
（2）当a＞1时，f（x）=log_ax在[a，2a]上单调递增，故（x）的最小值为f（a），f（x）的最大值为f（2a），结合已知构造关于a的方程，解方程可得答案．

解答：解：（1）由3x+1≤(

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)x-2可得3^x+1≤（3^-2）^（x-2）
即3^x+1≤3^-2x+4
即x+1≤-2x+4
解得x≤1
故M={x|x≤1}
当x∈M={x|x≤1}时，即x≤1，此时0＜2^x≤2
故函数 y=2^x的值域为{y|0＜y≤2}．
（2）当a＞1时，f（x）=log_ax在[a，2a]上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（a）=log_aa=1
f（x）的最大值为f（2a）=log_a2a=log_a2+log_aa=log_a2+1
∵函数f（x）=log_ax（a＞1）在[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，
∴log_a2+1=3×1
解得a=

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点评：本题考查的知识点是指数函数的单调性，指数函数的值域，指数的运算性质及对数函数的单调性，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质是解答的关键．