题目内容
【题目】如图,椭圆的左、右顶点分别为A、B,双曲线
以A、B为顶点,焦距为
,点P是
上在第一象限内的动点,直线AP与椭圆相交于另一点Q,线段AQ的中点为M,记直线AP的斜率为
为坐标原点.
(1)求双曲线的方程;
(2)求点M的纵坐标的取值范围;
(3)是否存在定直线使得直线BP与直线OM关于直线
对称?若存在,求直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在直线
满足题意,详见解析
【解析】
(1)根据题意,得到,即可求得双曲线
的方程;
(2)由在
上单调递增,即可求得点
的纵坐标
的取值范围;
(3)求出,可得直线
与
关于直线
对称,即可求解.
(1)由题意,椭圆的左、右顶点分别为
,双曲线
以A、B为顶点,焦距为
,可得
,所以
,
所以双曲线的方程
.
(2)由题意,设,
直线的方程为
,
代入椭圆方程,整理,
所以或
,所以
,
所以在
上单调递增,所以
.
(3)由(1)双曲线的方程
,
可得,同理
,
所以,即
,
设直线,则直线
,解得
,
所以直线与
关于直线
对称.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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