题目内容
（选做题）已知a，b，c为正实数，且a，b，c∈(1，
)．
（Ⅰ）证明：
+
≥
；
（Ⅱ）求
+
+
的最小值．
| 7 |
（Ⅰ）证明：
| 1 |
| a2-1 |
| 1 |
| 7-a2 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）求
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
分析：（Ⅰ）先通分母，再利用基本不等式，即可证得结论；
（Ⅱ）利用柯西不等式，再结合基本不等式，可求最小值．
（Ⅱ）利用柯西不等式，再结合基本不等式，可求最小值．
解答：（Ⅰ）证明：
+
=
≥
=
，等号当且仅当a=2时成立
∴
+
≥
；
（Ⅱ）解：由柯西不等式知：
+
+
≥
≥
=1
等号当且仅当a=b=c=2时成立．
∴所求的最小值为1．
| 1 |
| a2-1 |
| 1 |
| 7-a2 |
| 6 |
| (a2-1)(7-a2) |
| 6 | ||
(
|
| 2 |
| 3 |
∴
| 1 |
| a2-1 |
| 1 |
| 7-a2 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）解：由柯西不等式知：
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 32 | ||||||
|
| 9 | ||||||
|
等号当且仅当a=b=c=2时成立．
∴所求的最小值为1．
点评：本题考查基本不等式的运用，考查柯西不等式，正确运用柯西不等式是关键．
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