Question

（不等式选讲选做题） 已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a²+2b²+3c²=4，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：由4-a2=(2b2+3c2)×1=

6

5

(2b2+3c2)(

1

2

+

1

3

)≥(b+c)2•

6

5

=(a-2)2•

6

5

．得到关于a的不等关系：20-5a²≥6（a²-4a+4）解之即得a的取值范围．

解答：解：由4-a2=(2b2+3c2)×1=

6

5

(2b2+3c2)(

1

2

+

1

3

)
≥(b+c)2•

6

5

=(a-2)2•

6

5

．
∴20-5a²≥6（a²-4a+4）
∴11a²-24a+4≤0，
∴

2

11

≤a≤2．
则a的取值范围为[

2

11

，2]．
故答案为：[

2

11

，2]．

点评：此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的应用问题，有一定的技巧性，需要同学们对一般形式的柯西不等式非常熟练．