题目内容
（2013•陕西）（不等式选做题）
已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为
已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为
2
2
．分析：利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当
=
时成立，即可求出（am+bn）（bm+an）的最小值．
| a |
| c |
| b |
| d |
解答：解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：
（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2
可得（am+bn）（bm+an）≥（
•
+
•
）2
=mn（a+b）2
=2×1=2，当且仅当
=
即m=n时，取得最小值2．
故答案为：2．
（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2
可得（am+bn）（bm+an）≥（
| am |
| an |
| bn |
| bm |
=mn（a+b）2
=2×1=2，当且仅当
| am |
| an |
| bn |
| bm |
故答案为：2．
点评：本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识，属于基础题．
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