题目内容
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，并且焦距为2，短轴与长轴的比是
| ||
| 2 |
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆中有如下定理：过椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x0x |
| a2 |
| y0y |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
（3）如图，过椭圆的右准线上一点P，向椭圆引两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：A，F，B三点共线．
分析：（1）设椭圆的方程为
+
=1，利用c=1及
=
，a2=b2+c2，解得即可．
（2）利用给出的定理代入即可；
（3）设椭圆右准线上的点P（4，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），利用（2）中给出的定理可得：切线PA，PB，进而得到直线AB的方程是x+
y=1．点F（1，0）满足此方程，即可证明A，F，B共线．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b |
| a |
| ||
| 2 |
（2）利用给出的定理代入即可；
（3）设椭圆右准线上的点P（4，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），利用（2）中给出的定理可得：切线PA，PB，进而得到直线AB的方程是x+
| y0 |
| 3 |
解答：
解：（1）设椭圆的方程为
+
=1，由c=1及
=
，又a2=b2+c2．
联立解得a=2，b=
，
∴椭圆的方程为
+
=1．
（2）由定理得过点A(1，
)的切线的方程为
+
=1，即x+2y-4=0．
（3）设椭圆右准线上的点P（4，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则AP的方程为
+
=1，BP的方程为
+
=1．
又点P（4，y0）在两条切线上，∴x1+
y1=1，x2+
y2=1．
∴直线AB的方程是x+
y=1．
该直线过点F（1，0），故A，F，B共线．
解：（1）设椭圆的方程为| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b |
| a |
| ||
| 2 |
联立解得a=2，b=
| 3 |
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）由定理得过点A(1，
| 3 |
| 2 |
| x |
| 4 |
| y |
| 2 |
（3）设椭圆右准线上的点P（4，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则AP的方程为
| x1x |
| 4 |
| y1y |
| 3 |
| x2x |
| 4 |
| y2y |
| 3 |
又点P（4，y0）在两条切线上，∴x1+
| y0 |
| 3 |
| y0 |
| 3 |
∴直线AB的方程是x+
| y0 |
| 3 |
该直线过点F（1，0），故A，F，B共线．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、切线的性质、三点共线等基础知识与基本技能方法，属于难题．
练习册系列答案
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已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．