题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若函数的导函数
在
上有三个零点,求实数a的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为
.(2)
【解析】
(1)求出函数的定义域、导函数,当时,即可求出函数
的单调区间;
(2)由,可知
为
的一个零点,要使
在
上有三个零点,即方程
在
上有2个不同的实数根,参变分离将问题等价转化为函数
与直线
有2个交点,利用导数分析
的单调性与最值,即可得到
的取值范围.
解:(1)
.
当时,
,
令,得
,则
,
故当时,
,函数
单调递减,
当时,
,函数
单调递增,
故函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2)由,可知
为
的一个零点,
则方程在
上有2个不同的实数根,
即在
上有2个不同的实数根,
问题等价于函数与直线
有2个交点,
,
令,则
,
当
时,
,函数
单调递增,
当时,
,函数
单调递减,
.
,且
,
,
故实数a的取值范围为.
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