Question

【题目】设F1 ， F2分别是椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|= （Ⅰ）求E的离心率
（Ⅱ）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得直线l的方程为：y=x+c，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）． 联立 ，化为：（a2+b2）x2+2ca2x+a2c2﹣a2b2=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
|AB|= = = ，
化为：a2=2b2 ．
∴e= = = ．
（Ⅱ）设线段AB的中点M（x0 ， y0）．
x0= =﹣ =﹣ ．y0=x0+c= c．
∵点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，∴PM⊥AB，
∴kPMkAB= ×1=﹣1，解得c=3．
∴a2=b2+c2=2b2 ， 解得b=c=3，a2=18．
∴椭圆E的方程为 =1
【解析】（I）由题意可得直线l的方程为：y=x+c，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．与椭圆方程联立化为：（a2+b2）x2+2ca2x+a2c2﹣a2b2=0，利用根与系数的关系代入|AB|= = ，化简即可得出．（II）设线段AB的中点M（x0 ， y0）．可得x0= =﹣ ．y0=x0+c．根据点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，可得PM⊥AB，kPMkAB=﹣1，解得c．a2=b2+c2=2b2 ， 解得b，a．