Question

已知函数：f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R且x≠a)．
（1）证明：f（x）+2+f（2a-x）=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（3）（理）设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．
（4）（文）设函数g（x）=x²+（x-a）f（x），其中x≤a-1，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函数函数：f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R且x≠a)．直接代入化简即可；
（2）化简函数的f(x)=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

，根据定义域为[a+

1

2

，a+1]，
可确定f（x）的值域为[-3，-2]；
（3）利用分类讨论，将绝对值符号化去，再利用二次函数配方法求解，应注意函数定义域与函数对称轴之间的关系．

解答：解：（1）f(x)+2+f(2a-x)=

x+1-a

a-x

+2+

2a-x+1-a

a-2a+x

=

x+1-a

a-x

+2+

a-x+1

x-a

=

x+1-a+2a-2x-a+x-1

a-x

=0
∴结论成立
（2）f(x)=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

当a+

1

2

≤x≤a+1时，-a-1≤-x≤-a-

1

2

，-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，
∴-3≤-1+

1

a-x

≤-2        即f（x）值域为[-3，-2]．
（3）（理）g（x）=x²+|x+1-a|（x≠a）
①当x≥a-1且x≠a时，g(x)=x2+x+1-a=(x+

1

2

)2+

3

4

-a．
如果a-1≥-

1

2

即a≥

1

2

时，则函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增，∴g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²
如果a-1＜-

1

2

即当a＜

1

2

且a≠-

1

2

时，g(x)min=g(-

1

2

)=

3

4

-a．当a=-

1

2

时，g（x）最小值不存在．
②当x≤a-1时g(x)=x2-x-1+a=(x-

1

2

)2+a-

5

4

，
如果a-1＞

1

2

即a＞

3

2

时g(x)min=g(

1

2

)=a-

5

4

．
如果a-1≤

1

2

即a≤

3

2

时，g(x)在(-∞，a-1)上为减函数g(x)min=g(a-1)=(a-1)2．
当a＞

3

2

时，(a-1)2-(a-

5

4

)=(a-

3

2

)2＞0.当a＜

1

2

时，(a-1)2-(

3

4

-a)=(a-

1

2

)2＞0．
综合得：当a＜

1

2

且a≠-

1

2

时，g（x）最小值是

3

4

-a；当

1

2

≤a≤

3

2

时，g（x）最小值是（a-1）²；当a＞

3

2

时，g（x）最小值为a-

5

4

；当a=-

1

2

时，g（x）最小值不存在．
（文）同②

点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查函数的值域，同时考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．