Question

20．已知 $sin（α+\frac{π}{6}）-cosα=\frac{1}{3}$，则 $2sinαcos（α+\frac{π}{6}）$=（　　）

• A． $-\frac{5}{18}$
• B． $\frac{5}{18}$
• C． $-\frac{7}{9}$
• D． $\frac{7}{9}$

Answer 1

分析 首先对函数的关系式进行灵活的恒等变换，进一步利用诱导公式和2倍角公式进行变形，进一步求出结果．

解答 解：$2sinαcos（α+\frac{π}{6}）$=$2sinα（\frac{\sqrt{3}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2α-\frac{1-cos2α}{2}$
=$sin（2α+\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$
又由于$sin（α+\frac{π}{6}）-cosα$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα-cosα$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα$
=$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$
由$sin（2α+\frac{π}{6}）=cos[\frac{π}{2}-（2α+\frac{π}{6}]$
=$cos（2α-\frac{π}{3}）=1-2{sin}^{2}（α-\frac{π}{6}）$
=1-$\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$
故原式=$\frac{7}{9}-\frac{1}{2}=\frac{5}{18}$
故选：B

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，及相关的运算问题，主要考查学生对关系式的灵活变换能力．