题目内容
【题目】己知函数,
.
(I)求函数的单调区间;
(II)设,已知函数
在
上是增函数.
(1)研究函数上零点的个数;
(ii)求实数c的取值范围.
【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)(1)1个;(2) .
【解析】试题分析(1) 对函数求导,①当时,
在
上是减函数,在
上是增函数;②当
时,
在
上是增函数,在
上是减函数;(2) (1)当
时,函数
,
,
在
上单调递减.又
,
,由函数的零点存在性定理及其单调性知,
在
上零点的个数为1.(2)由(1)知,当
时,
>0,当
时,
<0.∴当
时,
=
求导,得
在
,
上恒成立. ①当
时,
min=
极小值=
,故“
在
上恒成立”,只需
.②当
时,当
时,
在
上恒成立,综合①②知,
的取值范围是
.
试题解析:(Ⅰ)∵,
∴,
①当时,
在时,
,
在时,
,
故在
上是减函数,在
上是增函数;
②当时,
在时,
,
在时,
,
故在
上是增函数,在
上是减函数;
(Ⅱ)(1)当时,函数
,
求导,得,
当时,
恒成立,
当时,
,
∴
,
∴在
上恒成立,故
在
上单调递减.
又,
,
曲线在[1,2]上连续不间断,
∴由函数的零点存在性定理及其单调性知,唯一的∈(1,2),使
,
所以,函数在
上零点的个数为1.
(2)由(1)知,当时,
>0,当
时,
<0.
∴当时,
=
求导,得
由函数在
上是增函数,且曲线
在
上连续不断知:
在
,
上恒成立.
①当时,
上恒成立,
即在
上恒成立,
记,
,则
,
,
当 变化时,
,
变化情况列表如下:
3 | |||
0 | |||
极小值 |
∴min=
极小值=
,
故“在
上恒成立”,只需
,即
.
②当时,
,
当时,
在
上恒成立,
综合①②知,当时,函数
在
上是增函数.
故实数的取值范围是
.
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