设等差数列{an}的前n项和为Sn.a5+a6=24.S11=143.数列{bn}的前n项和为Tn满足2${\;}^{{a} {n}-1}$=λTn-(a1-1)(n∈N+)(1)求数列 {an}的通项公式(2)若数列{$\frac{1}{{a} {n}{a} {n+1}}$}的前n项和为Tn.试证明Tn＜$\frac{1}{6}$,(3)是否存在非零实数λ.使得数列{bn}为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅+a₆=24，S₁₁=143，数列{b_n}的前n项和为T_n满足2${\;}^{{a}_{n}-1}$=λT_n-（a₁-1）（n∈N⁺）
（1）求数列 {a_n}的通项公式
（2）若数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，试证明T_n＜$\frac{1}{6}$；
（3）是否存在非零实数λ，使得数列{b_n}为等比数列？并说明理由．

分析（1）根据等差数列的性质建立方程组求出公差即可求数列 {a_n}的通项公式
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的通项公式，利用裂项法进行求和，即可证明不等式T_n＜$\frac{1}{6}$；
（3）根据等比数列的定义，求出数列{b_n}的通项公式，进行判断即可．

解答解：（1）在等差数列中，
∵S₁₁=143=11a₆，∴a₆=13，
∵a₅+a₆=24，∴a₅=11，即公差d=13-11=2，
则数列 {a_n}的通项公式a_n=a₆+2（n-6）=13+2（n-6）=2n+1．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+$$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{6}$$-\frac{1}{4n+6}$＜$\frac{1}{6}$，
即T_n＜$\frac{1}{6}$；
（3）∵a₁=3，2${\;}^{{a}_{n}-1}$=λT_n-（a₁-1），
∴4ⁿ=λT_n-2，
即T_n=$\frac{1}{λ}•{4}^{n}+\frac{2}{λ}$，当n=1时，b₁=$\frac{6}{λ}$，
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=$\frac{1}{λ}•{4}^{n}+\frac{2}{λ}$-$\frac{1}{λ}{4}^{n-1}-\frac{2}{λ}$=$\frac{3}{λ}•{4}^{n-1}$，
即b_n+1=4b_n，
若数列{b_n}为等比数列，
则b₂=4b₁，
∵b₁=$\frac{6}{λ}$，b₂=$\frac{12}{λ}$，不满足条件b₂=4b₁，
∴不存在非零实数λ，使得数列{b_n}为等比数列．