题目内容
设x、y∈R，
、
为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，
=x
+（y+2）
，
=x
+（y-2）
，且|
|+|
|=8．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设
=
+
，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．
| i |
| j |
| a |
| i |
| j |
| b |
| i |
| j |
| a |
| b |
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设
| OP |
| OA |
| OB |
（1）∵
=xi+（y+2）j，
=xi+（y-2）j，且|
|+|
|=8，
∴点M（x，y）到两个定点F1（0，-2），F2（0，2）的距离之和为8．
c=2，a=4，则b=
=2
∴轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为
+
=1．
（2）∵l过y轴上的点（0，3），
若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点．
∵
=
+
=0，
∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
∴直线l的斜率存在．设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
由y=kx+3，
+
=1，消y得（4+3k2）x2+18kx-21=0．
此时，△=（18k2）-4（4+3k2）＞0恒成立且x1+x2=-
，x1x2=-
．
∵
=
+
，
∴四边形OAPB是平行四边形．若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即
•
=0．
∵
=（x1，y1），
=（x2，y2），
∴
•
=x1x2+y1y2=0，
即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，
即（1+k2）•（-
）+3k•（-
）+9=0，即k2=
，得k=±
．
∴存在直线l：y=±
x+3，使得四边形OAPB是矩形．
| a |
| b |
| a |
| b |
∴点M（x，y）到两个定点F1（0，-2），F2（0，2）的距离之和为8．
c=2，a=4，则b=
| 16-4 |
| 3 |
∴轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 16 |
（2）∵l过y轴上的点（0，3），
若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点．
∵
| OP |
| OA |
| OB |
∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
∴直线l的斜率存在．设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
由y=kx+3，
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 16 |
此时，△=（18k2）-4（4+3k2）＞0恒成立且x1+x2=-
| 18k |
| 4+3k2 |
| 21 |
| 4+3k2 |
∵
| OP |
| OA |
| OB |
∴四边形OAPB是平行四边形．若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即
| OA |
| OB |
∵
| OA |
| OB |
∴
| OA |
| OB |
即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，
即（1+k2）•（-
| 21 |
| 4+3k2 |
| 18k |
| 4+3k2 |
| 5 |
| 16 |
| ||
| 4 |
∴存在直线l：y=±
| ||
| 4 |
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