Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M（x0 ， y0）到点N（2，0）距离的最小值为 ．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若x0＞2，圆E（x﹣1）2+y2=1，过M作圆E的两条切线分别交y轴A（0，a），B（0，b）两点，求△MAB面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解： ，∵ ，

∴ = ．

∵x0≥0，所以当2﹣p≤0即p≥2时，|MN|min=2，不符合题意，舍去；

所以2﹣p＞0即0＜p＜2时， ，

∴（2﹣p）2=1，∴p=1或p=3（舍去），∴y2=2x

（2）

解：由题意可知， ，所以直线MA的方程为 ，即（y0﹣a）x﹣x0y+ax0=0，

∴ ，∴ ，整理得：a2（x0﹣2）+2ay0﹣x0=0，

同理： ，∴a，b为方程 的两根，

∴ ，∴ ，∴ ，

∵x0＞2，∴ = ，当且仅当x0=4时，取最小值．

∴当x0=4时，△MAB面积的最小值为8

【解析】（1） = ．可得2﹣p＞0即0＜p＜2时， ，可得p即可．（2）由题意可知直线MA的方程为 ，即（y0﹣a）x﹣x0y+ax0=0，由直线与圆相切得：a2（x0﹣2）+2ay0﹣x0=0，
同理： ，∴a，b为方程 的两根，
即 = ，即可得△MAB面积的最小值．