题目内容

(2008•临沂二模)已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈[-e,0)时,f(x)=ax-ln(-x),(a<0,a∈R)
(I)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得当x∈(0,e]时f(x)的最大值是-3,如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由.
分析:(I)利用奇函数的定义即可得出;
(II)假设存在实数a,使得当x∈(0,e]时f(x)的最大值是-3.利用导数的运算法则可得f(x)=a+
1
x
=
ax+1
x
,分类讨论(i)当-
1
a
≥e
时,(ii)当-
1
a
<e
时,即a<-
1
e
时.得出即可.
解答:解:(I)设x∈(0,e],则-x∈[-e,0).
而f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-[a(-x)-lnx]=ax+lnx.
f(x)=
ax-ln(-x),x∈[-e,0)
ax+lnx,x∈(0,e]

(II)假设存在实数a,使得当x∈(0,e]时f(x)的最大值是-3.
f(x)=a+
1
x
=
ax+1
x

(i)当-
1
a
≥e
时,即-
1
e
≤a<0
时.f(x)在(0,e]上是增函数,
∴f(x)max=f(e)=ae+1=-3,解得a=
-4
e
<-
1
e
,应舍去.
(ii)当-
1
a
<e
时,即a<-
1
e
时.
列表
由表格可知:f(-
1
a
)=-1+ln(-
1
a
)=-3
,得a=-e2
故存在实数a=-e2,使f(x)在(0,e]上取得最大值-3.
点评:熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法、奇函数的意义等是解题的关键.
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