题目内容

(2008•临沂二模)已知数列{an}中,a1=1,前n项的和为Sn,对任意的自然数n≥2,an是3Sn-4与2-
32
Sn-1
的等差中项.
(1)求通项an
(2)求Sn
分析:(1)当n≥2,an是3Sn-4与2-
3
2
Sn-1
的等差中项.可得2an=3Sn-
3
2
Sn-1-2
2an+1=3Sn+1-
3
2
Sn-2
作差得2an+1-2an=3an+1-
3
2
an
,化为an+1=-
1
2
an
,n≥2.再求出a2.即可.
(2)利用等比数列的前n项和公式即可得出.
解答:解:(1)∵n≥2,an是3Sn-4与2-
3
2
Sn-1
的等差中项.
2an=3Sn-
3
2
Sn-1-2

2an+1=3Sn+1-
3
2
Sn-2

作差得2an+1-2an=3an+1-
3
2
an

an+1=-
1
2
an
,n≥2.
又因为2a2=3S2-
3
2
S1-2

解得a2=
1
2

∴n≥2,an=
1
2
•(-
1
2
)n-2

an=
1,n=1
1
2
•(-
1
2
)n-2,n≥2

(2)由(1)可得:
故n≥2时,Sn=1+
1
2
(1-(-
1
2
)
n-1
)
1-(-
1
2
)
=
4
3
-
1
3
(-
1
2
)n-1
,当n=1时也成立.
点评:熟练掌握an=
S1,n=1
Sn-Sn-1,n≥2
,等差数列与等比数列的前n项和公式等是解题的关键.
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