题目内容
【题目】已知直线
是曲线
的切线.
（1）求函数
的解析式，
（2）若
，证明:对于任意
，
有且仅有一个零点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）对函数求导，并设切点
，利用点既在曲线上、又在切线上，列出方程组，解得
，即可得答案；
（2）当x充分小时
，当x充分大时
，可得
至少有一个零点. 再证明零点的唯一性，即对函数求导得
，对
分
和
两种情况讨论，即可得答案.
（1）根据题意，
，设直线
与曲线
相切于点.
根据题意，可得
，解之得，
所以.
（2）由（1）可知
，
则当x充分小时，当x充分大时，∴至少有一个零点.
∵
，
①若，则
，在
上单调递增，∴有唯一零点.
②若令
，得有两个极值点，
∵
，∴
，∴
.
∴在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
∴极大值为
.
，又
，
∴
在(0，16)上单调递增，
∴
，
∴
有唯一零点.
综上可知，对于任意
，
有且仅有一个零点.
练习册系列答案
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【题目】杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在1654年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.
第0行 | 1 |
第1行 | 1 1 |
第2行 | 1 2 1 |
第3行 | 1 3 3 1 |
第4行 | 1 4 6 4 1 |
第5行 | 1 5 10 10 5 1 |
第6行 | 1 6 15 20 15 6 1 |
（1）记杨辉三角的前n行所有数之和为
，求的通项公式；
（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为
？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（3）已知n，r为正整数，且
.求证：任何四个相邻的组合数
，
，
，
不能构成等差数列.
