题目内容
【题目】已知函数且
.
(1)求实数的值;
(2)令在
上的最小值为
,求证:
.
【答案】(1).(2)见解析.
【解析】试题分析:由题意知:恒成立等价于
在
时恒成立,
令,由于
,故
,
可证:在
上单调递增;在
上单调递减.故
合题意.
(2)由(1)知
,
所以,
令,可证
,使得
,且当
时,
;当
时,
,进而证明
,
即.
试题解析:(1)法1:由题意知:恒成立等价于
在
时恒成立,
令,则
,
当时,
,故
在
上单调递增,
由于,所以当
时,
,不合题意.
当时,
,所以当
时,
;当
时,
,所以
在
上单调递增,
在
上单调递减,即
.
所以要使在
时恒成立,则只需
,
亦即,
令,则
,
所以当时,
;当
时,
,即
在
上单调递减,在
上单调递增.
又,所以满足条件的
只有2,
即.
法2:由题意知:恒成立等价于
在
时恒成立,
令,由于
,故
,
所以为函数
的最大值,同时也是一个极大值,故
.
又,所以
,
此时,当
时,
,当
时,
,
即:在
上单调递增;在
上单调递减.
故合题意.
(2)由(1)知
,
所以,
令,则
,
由于,所以
,即
在
上单调递增;又
,
,
所以,使得
,且当
时,
;当
时,
,
即在
上单调递减;在
上单调递增.
所以
.(∵
)
即,所以
,
即.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如下频数分布表:
收看时间(单位:小时) | ||||||
收看人数 | 14 | 30 | 16 | 28 | 20 | 12 |
(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”,否则定义为“非体育达人”,请根据频数分布表补全列联表:
男 | 女 | 合计 | |
体育达人 | 40 | ||
非体育达人 | 30 | ||
合计 |
并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关;
(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为,求的
分布列与数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】世界那么大,我想去看看,每年高考结束后,处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:
组别 | |||||
频数 |
(1)求所得样本的中位数(精确到百元);
(2)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布
,若该市共有高中毕业生35000人,试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上;
(3)已知本数据中旅游费用支出在范围内的8名学生中有5名女生,3名男生, 现想选其中3名学生回访,记选出的男生人数为
,求
的分布列与数学期望.
附:若,则
,
,
.