题目内容

已知数列中,,且)。
(I)    求的值及数列的通项公式;
(II)  (II)令,数列的前项和为,试比较的大小;
(III)令,数列的前项和为,求证:对任意,都有
(I)解:当时,,(1分)
时,。(2分)
因为,所以。(3分)
时,由累加法得
因为,所以时,有

时,
。(5分)
(II)解:时,,则
记函数
所以
0。
所以。(7分)
由于,此时
,此时
,此时
由于,故时,,此时
综上所述,当时,;当时,。(8分)
(III)证明:对于,有
时,
所以当时,


故对得证。(10分)
本试题主要是考查了数列的通项公式与求和的综合运用,以及数列与不等式的关系的运用。
(1)利用已知的递推关系得到数列的前几项的值,并整体变形构造等差数列求解通项公式。
(2)利用第一问的结论,结合分组求和的思想和等比数列的求和得到结论。
(3))先分析通项公式的特点,然后裂项求和,证明不等是的成立问题。
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