题目内容
如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪, 图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.
(1).设AD=x(x≥0),DE=y,求用x表示y的函数关系式,并求函数的定义域;
(2).如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请予证明.
(1);(2)如果DE是水管,DE的位置在AD=AE=处,如果DE是参观路线,则DE为AB中线或AC中线时,DE最长,证明过程详见解析.
解析试题分析:(1)在△ADE中,利用余弦定理可得,又根据面积公式可得,消去AE后即可得到y与x的函数关系式,又根据可以得到x的取值范围;(2)如果DE是水管,则问题等价于当时,求的最小值,利用基本不等式即可求得当时,y有最小值为,如果DE是参观路线,则问题等价于问题等价于当时,求的最小值,根据函数在[1,2]上的单调性,可得当x=1或2时,y有最小值.
(1)在△ADE中,由余弦定理:①
又∵ ②
②代入①得(y>0), ∴,
由题意可知,所以函数的定义域是,
;
(2)如果DE是水管,
当且仅当,即x=时“=”成立,故DE∥BC,且DE=.
如果DE是参观线路,记,可知函数在[1,]上递减,在[,2]上递增,
故 ∴y max=.即DE为AB中线或AC中线时,DE最长.
考点:1、平面向量的数量积;2、三角形面积计算.
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