题目内容
【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,
是椭圆短轴的一个顶点,并且
是面积为
的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
相交于
两点,过
作与
轴垂直的直线
,已知点
,问直线
与
的交点的横坐标是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)
与
交点的横坐标为定值2,理由见解析
【解析】
(1)根据题中的条件,写出椭圆的焦点的坐标,利用等腰直角三角形的条件,得出的关系,从而求得其值,从而得出椭圆的方程,得到结果;
(2)设出直线与椭圆的两个交点的坐标,联立方程组,利用韦达定理得到,写出直线
的方程:
,令
,整理得出其横坐标,从而证得其为定值,得到结果.
(1)由已知得,设
是面积为1的等腰直角三角形,
椭圆的方程为
(2)设
得
直线的方程:
令
与
交点的横坐标为定值2.
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