Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．
（Ⅰ）证明：A1C1=AB1；
（Ⅱ）若AC⊥AB1 ， ∠BCC1=120°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：连接BC1 ， 交B1C于点O，连接AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BC1 ， 且O为B1C及BC1的中点．
又AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO．故B1C⊥AO．又B1O=CO，
故AC=AB1 ．
又AC=A1C1 ， ∴A1C1=AB1；
（Ⅱ）解：∵AC⊥AB1 ， 且O为B1C的中点，∴AO=CO．
又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC．故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，设|OB|=1，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
∵∠BCC1=120°，∴∠CBB1=60°，∴△CBB1为等边三角形，又AB=BC，
则 ，B（1，0，0）， ， ．
设 是平面AA1B1的法向量，则 ，
∴可取 ．
设 是平面A1B1C1的法向量，则同理可取 ．
则 ．
∴结合图形知二面角A﹣A1B1﹣C的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）连结BC1 ， 交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B1O=CO，进而可得A1C1=AB1；（Ⅱ）以O为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，| |为单位长度， 的方向为y轴的正方向， 的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．