Question

已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay-2=0与圆x²+y²=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆

x2

8

+

y2

2

=1内部”，若命题“p且?q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵直线x+ay-2=0与圆x²+y²=1有公共点
∴

2

1+a2

≤1⇒a²≥1，即a≥1或a≤-1，
命题p为真命题时，a≥1或a≤-1；
∵点（a，1）在椭圆

x2

8

+

y2

2

=1内部，
∴

a2

8

+

1

2

＜1即a2＜4，即-2＜a＜2，
命题q为真命题时，-2＜a＜2，
由复合命题真值表知：若命题“p且?q”是真命题，则命题p，￢q都是真命题
即p真q假，则

a≥1或a≤-1 a≥2或a≤-2

⇒a≥2或a≤-2．
故所求a的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）．